Tabelas de contingência:
teste qui-quadrado de Pearson,
teste exato de Fisher,
odds ratio e V de Cramer
Paulo S. P Silveira (paulo.silveira@fm.usp.br)
Koichi Sameshima (koichi.sameshima@fm.usp.br)
José O. Siqueira (jose.siqueira@fm.usp.br)
v20200325.1343
Objetivos
- Identificar e sumariar dados categóricos em tabela de contingência.
- Definir e determinar frequências observada e esperada.
- Formular hipótese estatística na análise de dados categóricos.
- Identificar, aplicar e interpretar os testes de proporção.
- Identificar distribuição amostral \(\chi^2\) (qui-quadrado).
- Identificar e formular análise de variáveis categóricas em tabela de contingência \(l\)x\(c\) (números de linhas versus de colunas).
- Realizar os procedimentos estatísticos em R.
Preparação
Para executar os exemplos aqui apresentados, sugerimos que crie um projeto e baixe os seguintes arquivos para a pasta do mesmo:
Contingência
Em sentido geral, contingência pode significar qualquer relação de dependência entre eventos ambientais ou entre eventos comportamentais e ambientais (Catania, 1993; Skinner, 1953, 1969; Todorov, 1985). Embora possa ser encontrado nos dicionários com diferentes significados, esse termo é empregado, na análise do comportamento, como termo técnico para enfatizar como a probabilidade de um evento pode ser afetada ou causada por outros eventos (Catania, 1993, p. 368).http://www.itcrcampinas.com.br/txt/texto_deisy.pdf
\[~\]
Relações entre duas variáveis
|
1 Exposição e Desfecho |
tabela 2x2
independência
concordância
discordância
\[~\]
Associação
|
2 Não avalia causa e efeito: apenas associação. |
causa e efeito positivo?
causa e efeito negativo?
causa e efeito positivo?
Exemplos
Gatos e alergia
- estresse
- mecanismo imune
- desinfetantes
- alergia e estresse
- alergia e gatos
Vinho e doença coronariana
- ambiente inseguro
- moradia precária
- má nutrição
- boa moradia
- segurança
- boa alimentação
- outros cuidados
- é o vinho?
Fumo e Câncer de Pulmão
- The Cigarette Century
- How could one attribute lung cancer to cigarette smoking?
“The public impression of scientific and medical uncertainty that resulted was a crucial element in maintaining the market of current smokers as well as recruiting new ones. Industry literature, for example, frequently pointed to the fact that nonsmokers could also develop lung cancer. Therefore, they argued, how could one attribute lung cancer to cigarette smoking?”
- Medical knowledge is provisional
medical knowledge was always provisional and contingent. Just as drugs deemed “effective” do not work in every case, so too a cause of disease does not always result in disease. As Richard Doll would later explain, the epidemiologists had identified a cause of lung cancer (and other diseases), not the cause.
- Fisher was against the association between smoking and lung cancer
Another vocal critic of the lung cancer findings was Sir Ronald Fisher, the leading biometrician and geneticist in Great Britain during the first half of the twentieth century and a man deeply committed to bringing statistical analysis to genetics and agricultural experimentation. His 1925 book, Statistical Methods for Research Workers, quickly became a classic, leading to academic appointments at University College London and Cambridge University. Fisher’s critiques were similar to Berkson’s. The ethical impossibility of conducting a randomized experiment led him to question the results of the epidemiological studies. As a believer in genetic* notions of cancer causality, Fisher speculated that there was some constitutional factor that led individuals both to become smokers and to get lung cancer, even though smoking and lung cancer might not be causally related. Doll and Hill repeatedly rebutted this theory, returning to the critical question of how to account for the rise in lung cancers during the twentieth century if the disease was simply “constitutional.”
* 1923: One of the [A. Bradford] Hill’s innovations was the first randomized, double-blind clinical trial, designed to reduce investigator bias in the evaluation of clinical outcomes. […] This method, which drew on Fisher’s agricultural experimentation in genetics, became a critical new tool for evaluating medical treatments.
By the 1930s, the relationship of smoking to cancer was a topic of uresolved debate. It was the life insurance industry, which like the tobacco corporations grew by leaps and bounds in the first half of the twentieth century, that took the lead in understanding the effects of smoking on health.
By the early 1950s, however, it was abundantly clear that the evidence implicating cigarette smoking as a risk to health was now of a different order. First, the link between smoking and disease was categorical, outside the realm of individual clinical judgment.
They [tobacco industry] responded with a new and unprecedent public relations strategy. Its goals was to produce and sustain scientific skepticism and controversy in order to disrupt the emerging consensus on the harms of cigarette smoking. This strategy required intrusions into scientific process and procedure. […] So long as there appeared to be doubt, so long as the industry could assert “not proven”. […] The future of the cigarette would now depend on the successful production of a scientific controversy.
Óculos e xixi
Quando alguém lhe traz uma opinião coincidente com sua crença, você a toma como um fato. Quando alguém lhe traz um fato discordante de sua crença, você o toma como uma opinião.
A hipótese nula
|
3 Tomada de decisão: Hipótese nula (\(H_0\)) e hipótese alternativa (\(H_1\)) |
Teste qui-quadrado de Pearson para Independência
O teste qui-quadrado de Pearson permite que se descubra se existe um relacionamento ou efeito de interação entre duas variáveis qualitativas nominais com duas ou mais categorias.
Cada observação da unidade observacional deve ser alocada em apenas uma categoria de cada uma das duas variáveis nominais.
- a distribuição \(\chi^2\)
O comando para calcular a probabilidade acumulada entre zero e cada valor de qui-quadrado é:
dchisq(x, df, ncp = 0, log = FALSE)
onde x é o valor de \(\chi^2\), df são os graus de liberdade (degrees of freedom) e ncp é o parâmetro de não centralidade (non-centrality parameter = 0, por default, correspondente à distribuição centrada de \(H_0\); voltaremos ao ncp adiante). O parâmetro log, desligado por default é para a possibilidade de devolver o logarítmo do valor (não o exploraremos neste texto).
| Os graus de liberdade em uma tabela com \(L\) linhas e \(C\) colunas é dado por \[df = (L-1) \cdot (C-1)\] Portanto, uma tabela \(2\text{ x }2\), tem somente um grau de liberdade, e uma tabela \(4\text{ x }3\) tem seis graus de liberdade. |
Pode-se gerar curvas desta distribuição com o seguinte código, mostrando seu aspecto entre 2 e 6 graus de liberdade:
chi2.valor <- seq(from=0, to=40, by=0.01)
graus.liberdade <- 2:6
for (g in 1:length(graus.liberdade))
{
p <- dchisq(chi2.valor, df=graus.liberdade[g])
plot(chi2.valor, p, type="l",
main=paste("Distribuição de Qui^2, df=",
graus.liberdade[g],sep=""),
xlab="Qui-quadrado", ylab="Densidade")
}
ou, caso prefira ver todas as curvas no mesmo gráfico, sugere-se:
source("friendlycolor.R")
cor <- 3
padrao <- 1
leg.txt <- c()
leg.cor <- c()
chi2.valor <- seq(from=0, to=40, by=0.01)
graus.liberdade <- 2:6
for (g in 1:length(graus.liberdade))
{
p <- dchisq(chi2.valor, df=graus.liberdade[g])
if (g==1)
{
plot(chi2.valor, p, type="l", lty=padrao,
col=friendlycolor(cor), lwd=2,
main="Distribuições de Qui^2",
xlab="Qui-quadrado", ylab="Densidade")
} else
{
lines(chi2.valor, p, lty=padrao,
col=friendlycolor(cor), lwd=2)
}
# guarda para a legenda
leg.txt <- c(leg.txt, paste("df = ",graus.liberdade[g],sep=""))
leg.cor <- c(leg.cor, friendlycolor(cor))
cor <- cor+6
padrao <- padrao+1
}
legend("topright",
leg.txt,
col=leg.cor,
lwd=2,
lty=1:5,
box.lwd=0, bg="transparent") 
São distribuições assimétricas, iniciadas em zero, que tendem assintoticamente a zero com o valor crescente de \(\chi^2\).
Exemplo: capacete e trauma
Considere um estudo que investiga a efetividade dos capacetes de segurança de bicicleta na prevenção de traumas cranianos. Os dados consistem de uma amostra aleatória de 793 indivíduos envolvidos em acidentes ciclísticos durante um certo período. Deseja-se testar, com \(\alpha=0.05\), se o uso do capacete tem funcionado como um fator de proteção.
Formulamos as hipóteses nula e alternativa:
\(H_0: \text{não existe associação entre uso do capacete e trauma craniano}\)
\(H_1: \text{existe associação entre uso do capacete e trauma craniano}\)
\(\alpha = 5\%\)
Os dados são: 
tabela <- as.table(matrix(c(17, 138, 130, 508), nrow = 2, byrow = TRUE))
colnames(tabela) <- c("Trauma +","Trauma -")
rownames(tabela) <- c("Capacete +","Capacete -")
print (tabela) Trauma + Trauma -
Capacete + 17 138
Capacete - 130 508Sob a hipótese nula (\(H_0\)), i.e., se não existe associação entre o uso de capacete e o trauma craniano nos acidentes, os valores esperados são:
chi2 <- chisq.test(tabela)
print(round(chi2$expected,3)) Trauma + Trauma -
Capacete + 28.733 126.267
Capacete - 118.267 519.733| Conceitualmente, o teste do \(\chi^2\) é um teste de proporções. |
É possível transformar em proporções, obtendo:
tabela <- as.table(matrix(c(17, 138, 130, 508), nrow = 2, byrow = TRUE))
colnames(tabela) <- c("Trauma +","Trauma -")
rownames(tabela) <- c("Capacete +","Capacete -")
tabela_prop <- tabela/sum(tabela)
print (round(tabela_prop,3)) Trauma + Trauma -
Capacete + 0.021 0.174
Capacete - 0.164 0.641e, sob \(H_0\), os valores esperados são:
soma_col1 <- sum(tabela_prop[,1])
soma_col2 <- sum(tabela_prop[,2])
soma_lin1 <- sum(tabela_prop[1,])
soma_lin2 <- sum(tabela_prop[2,])
tabela_propesp <- tabela_prop
tabela_propesp[1,1] <- soma_lin1*soma_col1
tabela_propesp[1,2] <- soma_lin1*soma_col2
tabela_propesp[2,1] <- soma_lin2*soma_col1
tabela_propesp[2,2] <- soma_lin2*soma_col2
print(round(tabela_propesp,3)) Trauma + Trauma -
Capacete + 0.036 0.159
Capacete - 0.149 0.655Note que o teste em R é feito diretamente com os valores observados (pois o tamanho da amostra importa) e seus resultados foram armazenados, acima, na variável chi2. O tipo desta variável é dado por:
str(chi2)List of 9
$ statistic: Named num 6.7
..- attr(*, "names")= chr "X-squared"
$ parameter: Named int 1
..- attr(*, "names")= chr "df"
$ p.value : num 0.00964
$ method : chr "Pearson's Chi-squared test with Yates' continuity correction"
$ data.name: chr "tabela"
$ observed : 'table' num [1:2, 1:2] 17 130 138 508
..- attr(*, "dimnames")=List of 2
.. ..$ : chr [1:2] "Capacete +" "Capacete -"
.. ..$ : chr [1:2] "Trauma +" "Trauma -"
$ expected : num [1:2, 1:2] 28.7 118.3 126.3 519.7
..- attr(*, "dimnames")=List of 2
.. ..$ : chr [1:2] "Capacete +" "Capacete -"
.. ..$ : chr [1:2] "Trauma +" "Trauma -"
$ residuals: 'table' num [1:2, 1:2] -2.189 1.079 1.044 -0.515
..- attr(*, "dimnames")=List of 2
.. ..$ : chr [1:2] "Capacete +" "Capacete -"
.. ..$ : chr [1:2] "Trauma +" "Trauma -"
$ stdres : 'table' num [1:2, 1:2] -2.7 2.7 2.7 -2.7
..- attr(*, "dimnames")=List of 2
.. ..$ : chr [1:2] "Capacete +" "Capacete -"
.. ..$ : chr [1:2] "Trauma +" "Trauma -"
- attr(*, "class")= chr "htest"sapply(chi2, typeof) statistic parameter p.value method data.name observed
"double" "integer" "double" "character" "character" "double"
expected residuals stdres
"double" "double" "double" É uma estrutura complexa, da qual muitos valores podem ser extraídos quando quisermos utilizá-los dentro de um RScript. A parte em chi2$expected, que já utilizamos, contém a tabela com os valores esperados sob \(H_0\).
O resultado principal do teste é exibido pela variável como um todo:
print (chi2)
Pearson's Chi-squared test with Yates' continuity correction
data: tabela
X-squared = 6.7001, df = 1, p-value = 0.009641A estatística de teste tem o valor \(\chi^2=6.7001\), com 1 grau de liberdade (\(df=1\)), correspondendo ao valor-p de \(0.009641\) (que será discutido adiante). Com estes valores podemos decidir pela rejeição ou não-rejeição de \(H_0\).
No exemplo de uma tabela 2x2 há somente 1 grau de liberdade. O gráfico da distribuição de qui-quadrado (para melhor visibilidade, computamos \(0 \le \chi^2 \le 7\) e truncamos o eixo \(y\) em 1.2) é:
chi2.valor <- seq(from=0, to=7, by=0.01)
graus.liberdade <- 1
p <- dchisq(chi2.valor, df=graus.liberdade)
plot(chi2.valor, p, type="l", ylim=c(0, 1.2),
xlab="Qui-quadrado", ylab="Densidade"
)
Nosso interesse é saber a partir de qual o valor de \(\chi^2\) a discrepância entre os valores observados e esperados é menos provável que o valor de \(\alpha\) escolhido. Isto é encontrar o valor que separa a área de \(5\%\) sob a curva de distribuição em sua cauda direita. Este valor é chamado de qui-quadrado crítico, \(\chi^2_c\).
| Note que o raciocínio é bicaudal, buscando associação positiva ou negativa, mas a operacionalização do teste só utiliza a cauda superior. Isto acontece porque \(chi^2=0\) indica igualdade numérica (e, portanto, também estatística) entre os valores esperados e observados. Consequentemente, procuramos \(\alpha=0.05\) somente na cauda direita. |
Em R, podemos encontrar \(\chi^2_c\) pelo complemento (\(1-\alpha=0.95\)) com
chi2.critico <- qchisq(p=0.95, df=1)
cat("qui-quadrado crítico (df=1, alfa=5%): ", chi2.critico, "\n", sep="")qui-quadrado crítico (df=1, alfa=5%): 3.841459pois este é o valor de \(\chi^2\) que deixa \(95\%\) da área sob a curva à sua esquerda.
Graficamente, podemos hachurar em azul a área correspondente a \(\alpha\) e traçar uma linha pontilhada vertical em \(\chi^2_c\) com:
source("friendlycolor.R")
# vetor com valores de 0 a 7
chi2.valor <- seq(from=0, to=7, by=0.01)
graus.liberdade <- 1
# vetor com probabilidades correspondentes
p <- dchisq(chi2.valor, df=graus.liberdade)
# exibe o gráfico
plot(chi2.valor, p, type="l", ylim=c(0, 1.2),
xlab="Qui-quadrado", ylab="Densidade")
# vetor com os valores acima de qui critico
chi2.critico <- qchisq(p=0.95, df=1)
chi2maioralfa <- chi2.valor[chi2.valor>chi2.critico]
# probabilidades correspondentes
pmaioralfa <- dchisq(chi2maioralfa, df=graus.liberdade)
# hachura sob a curva
chi2maioralfa <- c(min(chi2maioralfa), chi2maioralfa, max(chi2maioralfa))
pmaioralfa <- c(0, pmaioralfa, 0)
polygon(chi2maioralfa, pmaioralfa, col=friendlycolor(10), border = NA)
# reforca a linha
lines(chi2maioralfa[2:(length(chi2maioralfa)-1)],
pmaioralfa[2:(length(pmaioralfa)-1)],
col=friendlycolor(10), lwd=2)
# linha pontilhada, valor critico
abline(v=chi2.critico, lty=2)
Esta área hachurada é a região de rejeição de \(H_0\).
- decisão pela estatística de teste
A estatística \(\chi^2\) é maior quanto maior for a discrepância entre os valores observados e esperados. Para um grau de liberdade e \(\alpha=0.05\), computamos \(\chi^2_c=\) 3.8414588. No exemplo de capacete e trauma, acima, rejeitamos \(H_0\) porque calculamos \(\chi^2=\) 6.7001206, valor maior que o valor crítico.
- decisão pelo valor-p
À direita do valor calculado \(\chi^2=\) 6.7001206 define-se uma área, que corresponde ao valor-p. Este valor também foi calculado quando aplicamos o teste e guardamos seu resultado em chi2, acima; o valor-p encontra-se acessível em chi2$p.value=0.0096406. Como \(p < \alpha\), concluimos pela rejeição de \(H_0\).
|
As duas formas de decisão são igualmente válidas e equivalentes. Exibir o valor-p é a forma mais moderna e recomendada atualmente. |
Teste do \(\chi^2\) robusto
Repare nas saídas da função chisq.test(), cujo cabeçalho indica:
Pearson’s Chi-squared test with Yates’ continuity correction
Esta é uma versão tradicional do teste, para a qual a correção de Yates é aplicável por default às tabelas 2x2 (mais detalhes serão vistos adiante). Podemos evitá-la com:
chi2ny <- chisq.test(tabela, correct=FALSE)
print(chi2ny)
Pearson's Chi-squared test
data: tabela
X-squared = 7.3099, df = 1, p-value = 0.006858Além disto, há várias condições para a aplicação do teste do qui-quadrado (comentadas adiante) que podem, muitas vezes, restringir seu uso.
Uma alternativa é computar o teste em sua versão robusta. A função chisq.test() consegue simular a distribuição por bootstrapping, alterando-se o comando para:
chi2.robusto <- chisq.test(tabela, correct=FALSE,
simulate.p.value = TRUE, B=1e6)
print(chi2.robusto)
Pearson's Chi-squared test with simulated p-value (based on 1e+06
replicates)
data: tabela
X-squared = 7.3099, df = NA, p-value = 0.007632Esta versão é simulada com \(1e6 = 1 \cdot 10^6 = 1000000\) iterações.
| Como a amostra é grande, os valores de \(\chi^2\) e \(p\) não mudam muito entre as diferentes versões. Há um pequeno bug na implementação da versão robusta, que não calcula os graus de liberdade (sabemos que \(df=1\)). |
A decisão, neste caso, não mudou, tanto pelo critério do \(\chi^2_c\) quanto pelo \(p\): rejeita-se \(H_0\).
Riscos relativos
|
Odds e probabilidade Odds (traduzido habitualmente por chance) e probabilidade são formas equivalentes para expressar possibilidades e relacionadas por: \(\textit{Odds} = {{\text{Probabilidade}} \over{1-\text{Probabilidade}}}\) e \(\text{Probabilidade} = {{\textit{Odds}} \over{1+\textit{Odds}}}\) Por exemplo, uma probabilidade de \(80\%\) corresponde a \(\textit{Odds} = {{0.8} \over {1-0.8}} = {0.8 \over 0.2} = 4\) indicando que dizer “\(80\%\) de probabilidade” é equivalente a dizer “4 vezes mais chance de ocorrer do que não ocorrer” um determinado evento. Resersamente, Odds de 2 é: \(\text{Probabilidade} = {2 \over {1+2}} = {2 \over 3} \approx 66.67\%\) e \(\textit{Odds}=1\) resulta em: \(\text{Probabilidade} = {1 \over {1+1}} = {1 \over 2} = 50\%\) Associa-se o máximo de incerteza com probabilidade de \(50\%\); por este motivo, \(Odds=1\) será um valor necessário para decisões estatísticas, adiante. |
Há dois tipos principais de risco relativo: razão de riscos (RR, risk ratio) e razão de chances (OR, odds ratio).
Vamos considerar a seguinte tabela:
Tem efeito Não tem efeito
Tem exposição a b a+b
Não tem exposição c d c+d
a+c b+d totalEsta tabela de contingência genericamente relaciona exposição (e.g., hábito de fumar) com o efeito (e.g., câncer de pulmão). Traz as contagens dos:
- expostos que apresentaram o efeito (\(a\)),
- expostos que não apresentaram o efeito (\(b\)),
- não expostos que apresentaram o efeito (\(c\)) e
- não expostos que não apresentaram o efeito (\(d\)),
razão de riscos (RR, risk ratio)
Riscos são probabilidades. A razão de riscos é dada por:
\(\LARGE{RR = {{{a} \over {a+b}} \over {{{c} \over {c+d}}}}}\)
Repare que \({a} \over {a+b}\) é a probabilidade de um indivíduo exposto ter o efeito (e.g., fumante ter câncer); \({c} \over {c+d}\) é a probabilidade de um indivíduo não exposto ter o efeito (e.g., não-fumante ter câncer).
RR, portanto, é um odds: quantas vezes mais é esperado o efeito (ocorrência de câncer) de quem é exposto (fumante) em comparação com quem não é exposto (não fumante);
razão de chances (OR, odds ratio)
Odds ratio como diz o nome, é uma razão entre dois odds, dada por:
\(\LARGE{OR = { { { {a} \over {a+c} } \over { {c} \over {a+c} } } \over { { {b} \over {b+d} } \over { {d} \over {b+d} } } }}\)
Considere, agora, que:
- \(\LARGE{ { {a} \over {a+c} } \over { {c} \over {a+c} } }\), entre os doentes, quantas vezes é a maior a chance (odds) de ter efeito (câncer) para quem é exposto (fuma).
- \(\LARGE{ { {b} \over {b+d} } \over { {d} \over {b+d} } }\), entre os não doentes, quantas vezes é a maior a chance (odds) de ter efeito (câncer) para quem é exposto (fuma).
Interessante, também, é que (com alguma álgebra) \(OR\) reduz-se a:
\(\LARGE{ OR = {{a \cdot d} \over {{b \cdot c}} } }\)
fácil de lembrar e assim conhecido como “produto cruzado” (com o defeito de ocultar o motivo pelo qual é um odds ratio). Por outro lado, como produto cruzado, percebe-se que é uma medida de quanto pesa a:
- diagonal principal, do que é concordante: \(\text{efeito entre expostos}~~\text{E}~~\text{não efeito entre não expostos}\)
em relação à
- diagonal secundária, do que é discordante: \(\text{efeito entre não expostos}~~\text{E}~~\text{não efeito entre expostos}\).
| Os valores de \(RR\) e \(OR\) são próximos quando menos que \(5\%\) dos não expostos têm efeito. |
Em R, o cálculo de \(OR\) aparece no Teste Exato de Fisher. No exemplo de capacete e trauma, temos:
tabela <- as.table(matrix(c(17, 138, 130, 508), nrow = 2, byrow = TRUE))
colnames(tabela) <- c("Trauma +","Trauma -")
rownames(tabela) <- c("Capacete +","Capacete -")
print(tabela)
ft <- fisher.test(tabela) # Teste de OR robusto
print(ft) Trauma + Trauma -
Capacete + 17 138
Capacete - 130 508
Fisher's Exact Test for Count Data
data: tabela
p-value = 0.005688
alternative hypothesis: true odds ratio is not equal to 1
95 percent confidence interval:
0.2630993 0.8357342
sample estimates:
odds ratio
0.4817645 - decisão pelo intervalo de confiança
A estimativa pontual de odds ratio está em ft$estimate=0.4817645, mas para a decisão é obrigatório verificar seu intervalo de confiança 95% (\(IC95\)), com limites inferior e superior respectivamente guardados em ft$conf.int[1]=0.2630993 e ft$conf.int[2]=0.8357342.
Como a ausência de efeito é dada por \(OR=1\) (correspondendo a \(H_0\)) e este valor unitário está fora do intervalo, rejeita-se \(H_0\). Além disto, o \(IC95\) é menor que o esperado por \(H_0\) e, portanto, o uso de capacete está associado com redução dos traumas cranianos.
|
Caso a tabela fosse construída com as colunas em posições trocadas, obter-se-ia o seguinte: O odds ratio é agora maior que o valor unitário, o qual está fora do intervalo, rejeitando-se a hipótese nula e a associação é positiva: a conclusão é a mesma, o uso de capacete está associado com o aumento de “Trauma -”, portanto é protetor. Aliás, observe que |
Dois códigos úteis, com vários dos elementos apresentados neste texto
|
4 Simulação e Gráficos |
tabelacontingencia2x2_capacetetrauma.R
Em tabelacontingencia2x2_capacetetrauma.R, que você pode adaptar para as suas necessidades, processamos o mesmo exemplo (procure a função sink() que desvia o resultado da tela para um arquivo texto). Além da estatística \(\chi^2\), computamos outros valores interessantes. Observe sua saída (tabelacontingencia2x2_capacetetrauma.txt):
source("tabelacontingencia2x2_capacetetrauma.R")
Resultados armazenados em tabelacontingencia2x2_capacetetrauma.txtEm Qui2.R também processamos o mesmo exemplo. Esta versão aplica bootstrapping de um jeito mais manual e produz gráficos associados aos conceitos que discutimos.
Execute com:
source("Qui2.R")
**** TABELA DE CONTINGÊNCIA ****
Considere:
Coluna+ Coluna-
Linha + a b Total lin. +
Linha - c d Total lin. -
Total col. + Total col. - Total geral
Informe:
Nome nas linhas (ate 10 letras): Capacete
Nome nas colunas (ate 10 letras): Trauma
Definido:
Trauma + Trauma -
Capacete + a b Total de Trauma +
Capacete - c d Total de Trauma -
Total de Capacete + Total de Capacete - Total geral
Forneca os valores de a, b, c, d:
a: 17
b: 138
c: 130
d: 508
Defina alfa = prob. erro do tipo I).
(número entre 0 e 1, default = 0.05).
alfa: 0.05
Quantas iteracoes para simular?
(entre um numero inteiro; default n=1e4)
iteracoes: 1e4
Exibir tabelas? (exibir lentifica a simulacao)
0=nao, 1=sim; default eh 0: 0
Observe a simulação em andamento na área de Plots. Quando terminar, procure os gráficos finalizados. Os principais são:
As distribuições de \(\chi^2\) para a hipótese nula e para o valor observado de \(H_1\) (o valor de \(\beta\) e o poder associados, aqui, são os valores a posteriori, portanto inúteis para qualquer decisão): 
|
Flashback: Recorde a tomada de decisão com a distribuição binomial: A estatística e o formato das distribuições mudam (em função, também, do tipo de variável), mas as áreas de \(\alpha\), \(\beta\) e o raciocínio são os mesmos.
|
A distribuição, com intervalo de confiança, do odds ratio simulado (compare com o obtido acima), indicando a rejeição de \(H_0\) (o valor 1, de referência, está fora do intervalo) e que seu efeito está entre mínimo a intermediário: 
|
Odds ratio é uma medida da intensidade de associação entre duas variáveis nominais dicotômicas de exposição e desfecho. De acordo com SHARPE, D. (2015) Your chi-square test is statistically significant: now what? Practical Assessment, Research & Evaluation, 20(8). É, também, uma medida de tamanho de efeito (não depende do tamanho da amostra, é adimensional e adirecional) e sua intensidade pode ser classificada em:
|
A distribuição do tamanho de efeito (V de Cramer), mostrando que o efeito, apesar de significante, está entre mínimo e pequeno: 
|
O programa já indica o tamanho de efeito de acordo com
Tamanho de efeito:
|
O V de Cramer é uma medida do grau de correlação absoluta entre duas variáveis nominais:Novamente a distribuição de \(\chi^2\), mas aqui exibe somente \(H_0\) e o valor-p, indicando a rejeição de \(H_0\): 
Tabelas LxC
O teste do \(\chi^2\) opera em tabelas maiores, com \(L\) linhas e \(C\) colunas.
Por exemplo, três quimioterápicos foram comparados quanto ao efeito colateral (náusea). Considere \(\alpha=0.05\). Há diferença entre as drogas?
Os dados obtidos foram:
Nausea Sem_nausea
Droga A 3 5
Droga B 7 2
Droga C 6 3
Em Qui2_LxC.R implementamos este exemplo (versão robusta):
source("Qui2_LxC.R") ComNausea SemNausea
A 3 5
B 7 2
C 6 3
Pearson's Chi-squared test with simulated p-value (based on 1e+06
replicates)
data: tcrxc
X-squared = 3.0559, df = NA, p-value = 0.2743
V de Cramer = 0.3428334
Observe que não rejeita-se \(H_0\). Os dois critérios são sempre equivalentes:
- o \(\chi^2\) calculado é menor que \(\chi^2_c\)
- \(p > \alpha\)
Abra o código para ver como foi implementado este teste.
Métodos tradicionais
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5 Condições para o \(\chi^2\) (métodos não robustos) |
Antes das implementações computacionais e a facilidade do uso do R, a partir de uma tabela 2x2 era necessário construir a tabela dos valores esperados.
- Valores observados:
Trauma + Trauma - Capacete + 17 138 155 Capacete - 130 508 638 147 646 793 - Valores esperados:
Trauma + Trauma - Capacete + 28.7 126.3 Capacete - 118.3 519.7Cada valor esperado é obtido pelo produto das marginais, dividido pelo total geral:
- \((147 \cdot 155) / 793 \approx 28.7\)
- \((147 \cdot 638) / 793 \approx 118.3\)
- \((646 \cdot 155) / 793 \approx 126.3\)
- \((646 \cdot 638) / 793 \approx 519.7\)
Avaliando os dados observados e os valores esperados, era necessário verificar se o teste de \(\chi^2\) podia ser aplicado. Eram as seguintes condições:
SIEGEL, S. & CASTELLAN Jr., N.J. (1988) Nonparametric statistics for the behavioral sciences. 2ª ed. NY: McGraw-Hill, p. 123:
- O teste exato de Fisher para testar independência é adequado apenas para tabela de contingência 2×2 se N < 20
- Se N entre 20 e 40, o teste qui-quadrado de Pearson pode ser usado se todas as frequências esperadas são maiores que 5.
- Se N > 40, o teste qui-quadrado de Pearson com correção de Yates pode ser usado.
COCHAN, W.G. (1954) Some Methods for Strengthening the Common \(\chi^2\) Tests. Biometrics: 10(4): 417-451:
- Um valor esperado mínimo de 1 em alguma célula é permitido, desde que não mais que 20% das células tenham valor abaixo de 5
Então, o valor de \(\chi^2\) era dado por
\(\chi^2 = \sum{ ({\text{observado}-\text{esperado}})^2 \over {\text{observado}} }\)
neste exemplo calculado por:
\(\chi^2 = { {{(17-28.7)^2} \over {28.7}} + {{(138-126.3)^2} \over {126.3}} + {{(130-118.3)^2} \over {118.3}} + {{(508-519.7)^2} \over {519.7}} } \approx 7.31\)
ou, em tabelas 2x2, era recomendado usar a correção de continuidade de Yates, dada por:
\(\chi^2 = \sum{ (|{\text{observado}-\text{esperado}}|-0.5n)^2 \over {\text{observado}}}\)
que, neste exemplo, resulta em \(\chi^2 \approx 6.7\)
Então, era necessário consultar uma tabela com os valores críticos de \(\chi^2_c\) previamente calculados para a tomada de decisão (sem obter, portanto, o valor-\(p\)). A tabela permitia escolher o valor de \(\alpha\) e, sabendo-se os graus de liberdade (neste caso \(\nu = 1\)), localizar \(\chi^2_c\) (neste exmeplo igual a \(3.841\)): 
Caso \(\chi^2\) não atendesse as exigências para ser aplicado, a alternativa (se fosse tabela 2x2) era o Teste Exato de Fisher. Este envolve calcular o valor-\(p\) por fatoriais de tabelas progressivamente mais extremas. Por exemplo: 
Neste caso o valor exato de \(p\) era calculado e comparado diretamente com \(\alpha\) para a tomada de decisão.
O que diz a literatura mais recente sobre estes métodos tradicionais e não robustos? 